Hölders olikhet (efter Otto Hölder ) är en olikhet för integraler och serier inom den gren av matematik som kallas funktionalanalys , och kan ses som en generalisering av Cauchy–Schwarz olikhet . Olikheten är ett viktigt resultat i studiet av Lp -rum , där den används för att visa Minkowskis olikhet (vilket är triangelolikheten för Lp -rum och är nödvändig för att visa att rummen är normerade rum ), samt ett antal andra uppskattningar.
Låt (S,Σ,μ) vara ett måttrum och låt
1
≤
p
,
q
<
∞
{\displaystyle 1\leq p,q<\infty }
med
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
. För mätbara funktioner , reell- eller komplexvärda, definieras Lp -normen som
‖
.
‖
p
:
f
↦
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
{\displaystyle \|\ .\ \|_{p}:f\mapsto {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}
Hölders olikhet ges nu av följande påstående:[ 1]
‖
f
g
‖
1
≤
‖
f
‖
p
‖
g
‖
q
.
{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}
Detta kan också skrivas på integralform som
∫
S
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
d
μ
≤
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
/
p
(
∫
S
|
g
|
q
d
μ
)
1
/
q
.
{\displaystyle \int _{S}|f(x)g(x)|d\mu \leq {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}{\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}
Eftersom en oändlig summa även kan ses som en integral (om man låter man
S
=
N
{\displaystyle S=\mathbb {N} }
och μ vara räknemåttet ) så kan Hölders olikhet även formuleras för reella och komplexa talföljder (element i
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
eller
C
N
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}
). Då fås följande olikhet:
∑
k
=
1
∞
|
x
k
y
k
|
≤
(
∑
k
=
1
∞
|
x
k
|
p
)
1
/
p
(
∑
k
=
1
∞
|
y
k
|
q
)
1
/
q
∀
(
x
k
)
k
∈
N
,
(
y
k
)
k
∈
N
∈
R
N
eller
C
N
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\!1/p\;}{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\!1/q}\forall \,\,(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ eller }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}
I definitionen ovan betyder
1
∞
{\displaystyle {\frac {1}{\infty }}}
noll. För
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
definieras uttrycket
‖
.
‖
p
{\displaystyle \|\ .\ \|_{p}}
som
‖
f
‖
∞
=
inf
{
M
:
μ
{
x
∈
S
:
f
(
x
)
>
M
}
=
0
}
{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{M:\mu \{x\in S:f(x)>M\}=0\}}
det vill säga infimum av
sup
x
∈
S
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \sup _{x\in S}|g(x)|}
, där g tillhör mängden av funktioner som är lika med f nästan överallt .
^ Burkill, J.C. (1951). The Lebesgue integral . Cambridge University Press. sid. 65